Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $3$ est la matrice carrée $3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{3}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 7 & - 5 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 7 + 0 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - λ & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 7 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - λ & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 5$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 7 & - 5 \\ 0 + 0 & 4 - λ & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 7 & - 5 \\ 0 & 4 - λ & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 7 & - 5 \\ 0 & 4 - λ & - 1 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 7 & - 5 \\ 0 & 4 - λ & - 1 \\ 2 & 8 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $8$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 7 & - 5 \\ 0 & 4 - λ & - 1 \\ 2 & 8 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & - 1 \\ 8 & - 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(5 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & - 1 \\ 8 & - 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 8 & - 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 8 & - 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (5 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & - 1 \\ 8 & - 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 8 & - 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 8 & - 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (5 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & - 1 \\ 8 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 - λ & - 1 \\ 8 & - 3 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((4 - λ) (- 3 - λ) - 8 \cdot - 1) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Développez $(4 - λ) (- 3 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (5 - λ) (4 (- 3 - λ) - λ (- 3 - λ) - 8 \cdot - 1) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (5 - λ) (4 \cdot - 3 + 4 (- λ) - λ (- 3 - λ) - 8 \cdot - 1) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (5 - λ) (4 \cdot - 3 + 4 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - 8 \cdot - 1) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- 12 + 4 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - 8 \cdot - 1) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- 12 - 4 λ - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - 8 \cdot - 1) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- 12 - 4 λ + 3 λ - λ (- λ) - 8 \cdot - 1) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (5 - λ) (- 12 - 4 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 8 \cdot - 1) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- 12 - 4 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 8 \cdot - 1) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- 12 - 4 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 8 \cdot - 1) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- 12 - 4 λ + 3 λ + 1 λ^{2} - 8 \cdot - 1) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- 12 - 4 λ + 3 λ + λ^{2} - 8 \cdot - 1) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2.2

Additionnez $- 4 λ$ et $3 λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- 12 - λ + λ^{2} - 8 \cdot - 1) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- 12 - λ + λ^{2} + 8) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.2

Additionnez $- 12$ et $8$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- λ + λ^{2} - 4) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.3

Remettez dans l’ordre $- λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - λ - 4) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$

Étape 5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 7 & - 5 \\ 4 - λ & - 1 \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - λ - 4) + 0 + 2 (7 \cdot - 1 - (4 - λ) \cdot - 5)$

Étape 5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - λ - 4) + 0 + 2 (- 7 - (4 - λ) \cdot - 5)$

Étape 5.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - λ - 4) + 0 + 2 (- 7 + (- 1 \cdot 4 - - λ) \cdot - 5)$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - λ - 4) + 0 + 2 (- 7 + (- 4 - - λ) \cdot - 5)$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- - λ$ .

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Étape 5.4.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - λ - 4) + 0 + 2 (- 7 + (- 4 + 1 λ) \cdot - 5)$

Étape 5.4.2.1.4.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - λ - 4) + 0 + 2 (- 7 + (- 4 + λ) \cdot - 5)$

Étape 5.4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - λ - 4) + 0 + 2 (- 7 - 4 \cdot - 5 + λ \cdot - 5)$

Étape 5.4.2.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - λ - 4) + 0 + 2 (- 7 + 20 + λ \cdot - 5)$

Étape 5.4.2.1.7

Déplacez $- 5$ à gauche de $λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - λ - 4) + 0 + 2 (- 7 + 20 - 5 λ)$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $- 7$ et $20$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - λ - 4) + 0 + 2 (13 - 5 λ)$

Étape 5.4.2.3

Remettez dans l’ordre $13$ et $- 5 λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - λ - 4) + 0 + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.1

Additionnez $(5 - λ) (λ^{2} - λ - 4)$ et $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - λ - 4) + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.2.1

Développez $(5 - λ) (λ^{2} - λ - 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 5 λ^{2} + 5 (- λ) + 5 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - λ \cdot - 4 + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 5 λ + 5 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - λ \cdot - 4 + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 5 λ - 20 - λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - λ \cdot - 4 + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2.2.3

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.2.2.3.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 5 λ - 20 - (λ^{2} λ) - λ (- λ) - λ \cdot - 4 + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2.2.3.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.5.2.2.3.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 5 λ - 20 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- λ) - λ \cdot - 4 + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 5 λ^{2} - 5 λ - 20 - λ^{2 + 1} - λ (- λ) - λ \cdot - 4 + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2.2.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 5 λ - 20 - λ^{3} - λ (- λ) - λ \cdot - 4 + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 5 λ^{2} - 5 λ - 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - λ \cdot - 4 + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2.2.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.2.2.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 5 λ - 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 4 + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2.2.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 5 λ - 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - λ \cdot - 4 + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2.2.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 5 λ - 20 - λ^{3} + 1 λ^{2} - λ \cdot - 4 + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2.2.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 5 λ - 20 - λ^{3} + λ^{2} - λ \cdot - 4 + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2.2.8

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 5 λ - 20 - λ^{3} + λ^{2} + 4 λ + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2.3

Additionnez $5 λ^{2}$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 5 λ - 20 - λ^{3} + 4 λ + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2.4

Additionnez $- 5 λ$ et $4 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ - 20 - λ^{3} + 2 (- 5 λ + 13)$

Étape 5.5.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ - 20 - λ^{3} + 2 (- 5 λ) + 2 \cdot 13$

Étape 5.5.2.6

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ - 20 - λ^{3} - 10 λ + 2 \cdot 13$

Étape 5.5.2.7

Multipliez $2$ par $13$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ - 20 - λ^{3} - 10 λ + 26$

Étape 5.5.3

Soustrayez $10 λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ - 20 - λ^{3} + 26$

Étape 5.5.4

Additionnez $- 20$ et $26$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ - λ^{3} + 6$

Étape 5.5.5

Déplacez $- 11 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ^{3} - 11 λ + 6$

Étape 5.5.6

Remettez dans l’ordre $6 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Factorisez $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 7.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 7.1.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$- 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 11 \cdot 1 + 6$

Étape 7.1.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 6 \cdot 1^{2} - 11 \cdot 1 + 6$

Étape 7.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + 6 \cdot 1^{2} - 11 \cdot 1 + 6$

Étape 7.1.1.3.4

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$- 1 + 6 \cdot 1 - 11 \cdot 1 + 6$

Étape 7.1.1.3.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$- 1 + 6 - 11 \cdot 1 + 6$

Étape 7.1.1.3.6

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$5 - 11 \cdot 1 + 6$

Étape 7.1.1.3.7

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$5 - 11 + 6$

Étape 7.1.1.3.8

Soustrayez $11$ de $5$ .

$- 6 + 6$

Étape 7.1.1.3.9

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 7.1.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $λ - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6}{λ - 1}$

Étape 7.1.1.5

Divisez $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6$ par $λ - 1$ .

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Étape 7.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$11 λ$

$6$

Étape 7.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$11 λ$	+	$6$

Étape 7.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$11 λ$	+	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- λ^{3} + λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$11 λ$	+	$6$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$11 λ$	+	$6$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$11 λ$	+	$6$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$11 λ$

Étape 7.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$11 λ$	+	$6$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$11 λ$

Étape 7.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$11 λ$	+	$6$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$11 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$

Étape 7.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 λ^{2} - 5 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$11 λ$	+	$6$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$

Étape 7.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$11 λ$	+	$6$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$6 λ$

Étape 7.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$11 λ$	+	$6$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$6 λ$	+	$6$

Étape 7.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$6$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$11 λ$	+	$6$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$6 λ$	+	$6$

Étape 7.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$6$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$11 λ$	+	$6$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$6 λ$	+	$6$
							-	$6 λ$	+	$6$

Étape 7.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 λ + 6$

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$6$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$11 λ$	+	$6$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$6 λ$	+	$6$
							+	$6 λ$	-	$6$

Étape 7.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$6$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$11 λ$	+	$6$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$6 λ$	+	$6$
							+	$6 λ$	-	$6$
										$0$

Étape 7.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- λ^{2} + 5 λ - 6$

Étape 7.1.1.6

Écrivez $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6$ comme un ensemble de facteurs.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 5 λ - 6) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 6 = 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 7.1.2.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 λ$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + 5 (λ) - 6) = 0$

Étape 7.1.2.1.1.2

Réécrivez $5$ comme $2$ plus $3$

$(λ - 1) (- λ^{2} + (2 + 3) λ - 6) = 0$

Étape 7.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 2 λ + 3 λ - 6) = 0$

Étape 7.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(λ - 1) ((- λ^{2} + 2 λ) + 3 λ - 6) = 0$

Étape 7.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(λ - 1) (λ (- λ + 2) - 3 (- λ + 2)) = 0$

Étape 7.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- λ + 2$ .

$(λ - 1) ((- λ + 2) (λ - 3)) = 0$

Étape 7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(λ - 1) (- λ + 2) (λ - 3) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ - 1 = 0$

$- λ + 2 = 0$

$λ - 3 = 0$

Étape 7.3

Définissez $λ - 1$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $λ - 1$ égal à $0$ .

$λ - 1 = 0$

Étape 7.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 1$

Étape 7.4

Définissez $- λ + 2$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $- λ + 2$ égal à $0$ .

$- λ + 2 = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $- λ + 2 = 0$ pour $λ$ .

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Étape 7.4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- λ = - 2$

Étape 7.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- λ = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- λ = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 7.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 7.4.2.2.2.2

Divisez $λ$ par $1$ .

$λ = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 7.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$λ = 2$

Étape 7.5

Définissez $λ - 3$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $λ - 3$ égal à $0$ .

$λ - 3 = 0$

Étape 7.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 3$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(λ - 1) (- λ + 2) (λ - 3) = 0$ vraie.

$λ = 1, 2, 3$